第200章 混沌动力学

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　　而阿蒂亚-辛格指标定理的出现，则是现代数学统一性的极佳例子。

　　

　　它的出现，不仅在内容上，沟通了分析与拓扑学两大领域，而且在研究方法上，涉及道分析、拓扑、代数几何、偏微分方程、多复变函数等许多核心数学分支。

　　

　　而且阿蒂亚-辛格指标定理，在物理学上的“杨-米尔斯理论”中获得了重要应用。

　　

　　因而阿蒂亚-辛格指标定理，被誉为现代数学的最大成就之一。

　　

　　阿蒂亚-辛格指标定理这样涉及面如此之广的问题，毫无疑问，是超级困难的。

　　

　　如果是在进来算学碑之前，哪怕是给十个程理，他也不可能靠自己推导出这条定理。哪怕是他已经实现知道这个定理的最终形式，也不可能从头把这条定理推到出来。

　　

　　但是，在经过这近3000层的问题洗礼，还有算学碑里神秘资讯的淬炼后，程理的数学水平已经有了一个恐怖的飞跃。

　　

　　所以，在他自己都不敢想象中，他仅仅用了20多分钟就把阿蒂亚-辛格指标定理给推导出来了。

　　

　　在解决了阿蒂亚-辛格指标定理后。

　　

　　程理就来到了第2996层，而这一层的问题，也同样艰难，这是关于“如何解孤立子方程”的一道问题。

　　

　　对非线性数学问题越来越重视，也是20世纪下半叶数学发展的一个特点。

　　

　　在20世纪上半叶，线性偏微分方程获得了很大进展。但是与之相比，非线性方程的研究却困难重重。直到数学家们开始对“孤立子”方程的研究后，非线性方程领域才得到了重大的突破和发展。

　　

　　这一切起源于，一种名为“孤立波”现象的研究。

　　

　　所为的孤立波，就是指船只突然停止时激起的水波。

　　

　　最早1834年，英国工程师拉塞尔，就对这种水波有所研究，他将这种水波形容为“一个滚圆而平滑，轮廓分明的巨大孤立波峰，以很快的速度离开船头，向前运动着。在行进过程中，它的形状和速度并没有明显的改变……”拉塞尔在做出这样的描述时，还抱怨当时的数学家，并未提供能在数学上对这种孤立波描述的工具。

　　

　　直到1895年，荷兰数学家科特维格才给出了孤立波现象的数学模型，一个非线性偏微分方程，这个方程也被成为KdV方程。

　　

　　KdV方程虽然被提出，但是以当时的数学水平却无法解出这个方程。

　　

　　于是关于KdV方程的研究在半个多世纪里，就这样停滞不前。

　　

　　不过，问题并没有就这样结束。

　　

　　随着物理学的发展，人们对各种波的研究加深后。

　　

　　很多人又开始对孤立波进行了进一步研究。

　　

　　然后，人们发现：两个不同的孤立波在碰撞后，仍表现为两个形状不变的孤立波，然后在碰撞交错后，仿佛什么事情都没发生一样，继续朝着自己原来路线前进着。

　　

　　于是，人们把这种两个孤立波相撞后保持不变的现象，称之为“孤立子”

　　

　　KdV方程于是就被成为了孤立子方程。

　　

　　孤立子问题一出现后，就马上引起了人们的广泛。

　　

　　因为人们发现，孤立子方程可以描写许多自然现象的数学物理基本方程。

　　

　　最后经过许多数学家的努力后，才发展出一套“散射反演方法”，成功解出孤立子方程。

　　

　　程理也正是用“散射反演方法”解答了第2996层的问题。

　　

　　孤立子在非线性波理论、基本粒子理论等领域有着广泛而重要的作用。

　　

　　它的发现是数学导致重大科学发现的一个例证。它表明，数学作为现代科学方法的三大环节（理论、实验、数学）之一，已经并将进一步在当代基础理论、应用技术等许多方面发挥重要作用。

　　

　　现在人们已经发现很多在应用中十分重要的非线性方程，如正弦-戈登方程、非线性薛定谔方程等都具有这种孤立子解。

　　

　　人们还发现在等离子体光纤通讯中也有孤立子现象，科学家们还认为，神经细胞轴突上传导的冲动、木星上的红斑等都可以看做是孤立子。

　　

　　所以，孤立子方程，也是通过数学研究而导致重大科学发现的一个典型例证。

　　

　　在孤立子方程问题之后，程理在第2997层，遇到了著名的“分形问题”。

　　

　　20世纪数学，在几何概念上有两次飞跃，都与空间维度相关。

　　

　　一个是，从有限维道无穷维的飞跃。

　　

　　另外一个就是，从整数维到分数维的飞跃。

　　

　　而整数维道分数维的飞跃，发生在20世纪下半叶，起源于法国数学家蒙德尔布罗1967年发表的《英国海岸线有多长？》一文中。

　　

　　这实际上，就是分形问题研究的开始。

　　

　　海岸线问题，是一个实际的地理测量问题，科学家在实际考察中发现，不同国家出版的百科全书中，对英国海岸线长度，竟然有不同的长度记载，而且误差竟然超过20%！

　　

　　然后，数学家蒙德尔布罗从数学上研究这一个问题，认为这种超常的误差，与海岸线形状的不规则有关。

　　

　　由于这种不规则，在不同测量尺度下将得出不同的测量结果。

　　

　　最后蒙德尔布罗采用“柯克曲线”作为思考海岸线问题的数学模型。

　　

　　所为的柯克曲线，就是以一个平面等边三角形的每条边的中央三分之一为底，向外侧作一小等边三角形，然后抹去这小三角形的底边，就可以得到一条新的闭折线。

　　

　　然后，在新曲线的每条边上重复刚才的作图，就可以这样无限的继续画下去。

　　

　　这样的一条曲线，就被成为了分形曲线。

　　

　　这样的描述，也许不太好想象和理解。

　　

　　但在自然界中，有许多分形的例子。

　　

　　比如雪花，就是一个典型的分形图案，可以将上面的描述想象出就是雪花图案的描绘过程。

　　

　　柯克曲线只是具有分数维的几何图形的一个例子。

　　

　　蒙德尔布罗1977年正式将具有分数维的图形称为“分形”。

　　

　　并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何。

　　

　　而正是随后对分形几何的研究，让人们发现了“混沌”现象，从而建立了“混沌动力学”这一全新领域。